क्षेत्रफळ, घनफळ

 हसत खेळत गणित शिका...!!

स्पर्धा परीक्षांमध्ये क्षेत्रफळ (Area) आणि घनफळ (Volume) या विषयावर वारंवार प्रश्न विचारले जातात. क्षेत्रफळ म्हणजे कोणत्याही आकृतीचा व्यापलेला सपाट भाग तर घनफळ म्हणजे त्रिमितीय वस्तूचा व्यापलेला जागेचा भाग.

उदा. चौकोनाचे क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू, घनाचे घनफळ = बाजू³.
या संकल्पना नीट समजून घेतल्यास गणितातील अवघड प्रश्नही सोपे होतात. नियमित सराव करा आणि सूत्रे लक्षात ठेवा — यश नक्की मिळेल!

🔷 १. क्षेत्रफळ म्हणजे काय?

एखाद्या सपाट वस्तूने (जसे की वह, फळा, झेंड्याचा कापड) किती जागा व्यापलेली आहे, ते म्हणजे क्षेत्रफळ.

➤ याची एककं:

• वर्ग सेमी (cm²)

• वर्ग मीटर (m²)

➤ लक्षात ठेवायची गोष्ट:

"क्षेत्रफळ" नेहमी फक्त 2 मापांवर अवलंबून असतं – जसं की लांबी आणि रुंदी / आधार आणि उंची.

---

✅ सोपे सूत्रं (म्हणून लक्षात ठेव)

• आयत (rectangle): लांबी × रुंदी

• चौरस (square): बाजू × बाजू

• त्रिकोण: (1/2) × आधार × उंची

• वृत्त (circle): π × त्रिज्या × त्रिज्या

---

🔷 २. घनफळ म्हणजे काय?

एखाद्या वस्तूमध्ये भरता येणारी जागा म्हणजे घनफळ.
उदा: टबमध्ये किती पाणी मावेल, डब्यात किती वस्तू ठेवता येतील.

➤ याची एककं:

• घन सेमी (cm³)

• घन मीटर (m³)

• लिटर (पाण्यासाठी)

➤ लक्षात ठेवायची गोष्ट:

"घनफळ" हे ३ मापांवर अवलंबून असतं – लांबी, रुंदी आणि उंची.

---

✅ सोपे सूत्रं लक्षात ठेव

• घन (cube): बाजू × बाजू × बाजू

• घनाभ (डब्बा/पेटी): लांबी × रुंदी × उंची

• सिलिंडर (टाकी/बॉटल): π × त्रिज्या² × उंची

• गोळा (फुगा): (4/3) × π × त्रिज्या³

---

दैनंदिन उदाहरणं

• कपड्याचं क्षेत्रफळ: झेंड्याचा कापड 6 फूट लांब आणि 4 फूट रुंद असेल, तर त्याचं क्षेत्रफळ 6 × 4 = 24 फूट²

• डब्ब्याचं घनफळ: पाटीचा डब्बा 10 सेमी लांब, 5 सेमी रुंद, 4 सेमी उंच असेल, तर घनफळ 10 × 5 × 4 = 200 cm³

• बॉटलचं घनफळ: बॉटलची त्रिज्या 3 सेमी आणि उंची 10 सेमी असेल, तर घनफळ = 3.14 × 3² × 10 = 282.6 cm³

---

✅ क्षेत्रफळ आणि घनफळ: 10 प्रश्न व उत्तरे

---

📌 प्रश्न 1:

एका चौरसाची बाजू 9 सेमी आहे. त्याचं क्षेत्रफळ किती?

➡️ उत्तर:
9 × 9 = 81 cm²

---

📌 प्रश्न 2:

एका आयताची लांबी 12 सेमी आणि रुंदी 5 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काय?

➡️ उत्तर:
12 × 5 = 60 cm²

---

📌 प्रश्न 3:

एका त्रिकोणाचा आधार 10 सेमी आणि उंची 6 सेमी आहे. क्षेत्रफळ?

➡️ उत्तर:
(1/2) × 10 × 6 = 30 cm²

---

📌 प्रश्न 4:

एका वृत्ताची त्रिज्या 7 सेमी आहे. क्षेत्रफळ किती? (π = 3.14)

➡️ उत्तर:
π × r² = 3.14 × 7² = 3.14 × 49 = 153.86 cm²

---

📌 प्रश्न 5:

एका घनाची बाजू 4 सेमी आहे. घनफळ किती?

➡️ उत्तर:
4 × 4 × 4 = 64 cm³

---

📌 प्रश्न 6:

एका घनाभाची लांबी 10 सेमी, रुंदी 6 सेमी, उंची 3 सेमी आहे. घनफळ?

➡️ उत्तर:
10 × 6 × 3 = 180 cm³

---

📌 प्रश्न 7:

एका सिलिंडरची त्रिज्या 3 सेमी आणि उंची 10 सेमी आहे. घनफळ किती? (π = 3.14)

➡️ उत्तर:
π × r² × h = 3.14 × 9 × 10 = 282.6 cm³

---

📌 प्रश्न 8:

एका गोळ्याची त्रिज्या 2 सेमी आहे. घनफळ किती? (π = 3.14)

➡️ उत्तर:
(4/3) × π × r³ = (4/3) × 3.14 × 8 = 33.49 → 33.51 cm³

---

📌 प्रश्न 9:

एका समलंब चतुर्भुजाचं आधार 10 सेमी, उंची 4 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काय?

➡️ उत्तर:
आधार × उंची = 10 × 4 = 40 cm²

---

📌 प्रश्न 10:

एका डब्ब्याच्या मापांवरून (लांबी 8 सेमी, रुंदी 5 सेमी, उंची 2 सेमी), किती वस्तू त्यात मावू शकतात, जर एक वस्तू 2 cm³ आहे?

➡️ उत्तर:
घनफळ = 8 × 5 × 2 = 80 cm³
80 ÷ 2 = 40 वस्तू

🧠 थोडे कठीण 5 प्रश्न (उत्तरांसह)

---

📌 प्रश्न 1:

एका खोलीची लांबी 5 मीटर, रुंदी 4 मीटर आणि उंची 3 मीटर आहे.
प्रश्न: त्या खोलीचा एकूण घनफळ किती आहे?

➡️ उत्तर:
घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची
= 5 × 4 × 3 = 60 मी³

---

📌 प्रश्न 2:

एका आयताकृती जागेचे क्षेत्रफळ 96 मी² आहे. तिची लांबी 12 मीटर आहे.
प्रश्न: रुंदी किती असेल?

➡️ उत्तर:
लांबी × रुंदी = क्षेत्रफळ ⇒ 12 × रुंदी = 96
रुंदी = 96 ÷ 12 = 8 मीटर

---

📌 प्रश्न 3:

एका सिलिंडरमध्ये 3.14 × 4² × 10 = 502.4 cm³ इतकं घनफळ आहे.
प्रश्न: त्या सिलिंडरची त्रिज्या किती असेल?

➡️ उत्तर:
πr²h = 502.4 ⇒ 3.14 × r² × 10 = 502.4
r² = 502.4 ÷ (3.14 × 10) = 16 ⇒ r = √16 = 4 सेमी

---

📌 प्रश्न 4:

एका गोळ्याचं घनफळ 113.04 cm³ आहे. (π = 3.14)
प्रश्न: त्याची त्रिज्या काय?

➡️ उत्तर:
(4/3)πr³ = 113.04
r³ = (113.04 × 3) ÷ (4 × 3.14) = 84.78 ÷ 12.56 = 6.75
r = ∛6.75 ≈ 1.88 सेमी

---

📌 प्रश्न 5:

एका बागेचा बाह्य किनारा (boundary) 80 मीटर आहे. जर ती पूर्ण चौकोनाकार असेल,
प्रश्न: बागेचे क्षेत्रफळ किती असेल?

➡️ उत्तर:
परिघ = 4 × बाजू ⇒ बाजू = 80 ÷ 4 = 20 मीटर
क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू = 20 × 20 = 400 मी²

🧠 5 चॅलेंजिंग प्रश्न (उत्तर न देता)

👉 तू स्वतः प्रयत्न कर, नंतर हवे असल्यास मी उत्तरं व स्पष्टीकरण देईन.

---

🔹 प्रश्न 1:

एका आयताकृती कुंडीत 250 मी² क्षेत्र आहे. जर तिच्या लांबीपेक्षा रुंदी 5 मीटरने कमी असेल, आणि लांबी 25 मीटर असेल, तर ती कुंडी किती मीटर लांब आणि किती मीटर रुंद असेल? ✅

---

🔹 प्रश्न 2:

एका पाण्याच्या टाकीची लांबी 3 मीटर, रुंदी 2 मीटर आणि उंची 1.5 मीटर आहे.
प्रश्न: टाकीमध्ये किती लिटर पाणी मावेल? (टीप: 1 m³ = 1000 लिटर)

---

🔹 प्रश्न 3:

एका गोळ्याचा घनफळ 904.32 cm³ आहे.
प्रश्न: गोळ्याची त्रिज्या किती असेल?
(सूत्र: (4/3)πr³ = घनफळ, π = 3.14)

---

🔹 प्रश्न 4:

एका वृत्ताचा क्षेत्रफळ 314 cm² आहे.
प्रश्न: त्या वृत्ताची त्रिज्या किती असेल?
(सूत्र: πr² = क्षेत्रफळ)

---

🔹 प्रश्न 5:

एका खोलीच्या चारही भिंतींना रंग करायचा आहे. खोलीची लांबी 6 मीटर, रुंदी 4 मीटर आणि उंची 3 मीटर आहे.
प्रश्न: जर दर 1 मी² रंगवायला 50 रुपये लागतात, तर एकूण खर्च किती होईल?
(टीप: फक्त भिंती रंगवायच्या आहेत – छत आणि जमिनीचं क्षेत्रफळ धरायचं नाही.)

---

✅ प्रश्न 1:

प्रश्न: आयताकृती कुंडीचं क्षेत्रफळ 250 मी² आहे. लांबी 25 मीटर आहे आणि रुंदी लांबीपेक्षा 5 मीटरने कमी आहे.
म्हणजे रुंदी = 25 - 5 = 20 मीटर
➡️ परीक्षण: 25 × 20 = 500 ❌
खरं उत्तर निघावं म्हणून,
घ्या —
लांबी = 25 मीटर
रुंदी = x मानूया
तर क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी = 25 × x = 250
⇒ x = 250 ÷ 25 = 10 मीटर

➡️ ✅ उत्तर:
लांबी = 25 मीटर, रुंदी = 10 मीटर

---

✅ प्रश्न 2:

टाकीची लांबी = 3 मीटर, रुंदी = 2 मीटर, उंची = 1.5 मीटर
घनफळ = 3 × 2 × 1.5 = 9 m³
➡️ 1 m³ = 1000 लिटर
⇒ 9 × 1000 = 9000 लिटर

➡️ ✅ उत्तर:
9000 लिटर पाणी मावेल

---

✅ प्रश्न 3:

घनफळ = 904.32 cm³
सूत्र: $(4/3)πr³ = 904.32$
π = 3.14

👇
(4/3) × 3.14 × r³ = 904.32
⇒ 4.1867 × r³ = 904.32
⇒ r³ = 904.32 ÷ 4.1867 ≈ 216
⇒ r = ∛216 = 6 सेमी

➡️ ✅ उत्तर:
त्रिज्या = 6 सेमी

---

✅ प्रश्न 4:

वृत्ताचं क्षेत्रफळ = 314 cm²
सूत्र: πr² = 314
π = 3.14

👇
3.14 × r² = 314
⇒ r² = 314 ÷ 3.14 = 100
⇒ r = √100 = 10 सेमी

➡️ ✅ उत्तर:
त्रिज्या = 10 सेमी

---

✅ प्रश्न 5:

भिंती रंगवायच्या आहेत (छत आणि जमीन नाही)
➡️ खोली = 6 मी × 4 मी × 3 मी

चार भिंतींचं क्षेत्रफळ:

• दोन भिंती: 6 × 3 = 18 m² (×2) = 36 m²

• दोन भिंती: 4 × 3 = 12 m² (×2) = 24 m²
  ⇒ एकूण भिंतींचं क्षेत्रफळ = 36 + 24 = 60 m²

➡️ प्रति 1 m² साठी खर्च = 50 रुपये
⇒ 60 × 50 = 3000 रुपये

➡️ ✅ उत्तर:
रंगकामाचा एकूण खर्च = 3000 रुपये

✍️ सरावासाठी प्रश्न -

1. एका चौरसाची बाजू 8 सेमी आहे. त्याचं क्षेत्रफळ किती?

2. एक डब्बा 10 सेमी × 6 सेमी × 5 सेमी आहे. त्याचं घनफळ?

3. एक त्रिकोणाचा आधार 12 सेमी आणि उंची 5 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काय?